MODELO EOQ SIN FALTANTES

SUPUESTOS

Dentro de los supuestos de este modelo encontramos:

·        Demanda constante y conocida

·         No se admiten faltantes

·         Se manejan los costos de mantener guardado el inventario y el costo de pedir. Estos se mantienen constantes.

·         La reposición es instantánea porque no hay tiempo de demora.

 

Donde Q  son las cantidades, d es la demanda y t₁ es el tiempo en que se terminan las cantidades por la demanda.

El costo total de este modelo es el siguiente: 

Siendo Cu, Cp y Cmi los costos de adquisición, de pedir y de mantener el  inventario respectivamente.

Para conocer el costo total en un período extenso, por ejemplo el costo total anual, debemos tener en cuenta dos cosas. La primera es que el tiempo representado en la gráfica por t₁ corresponde a las cantidades por la demanda; en segundo lugar habrá que tener presente el número de periodos  en que se demore agotar el inventario. Es decir,

 

Multiplicando la ecuación del costo total para este modelo por N y luego haciendo los respectivos reemplazos, obtendremos finalmente el costo total anual. El procedimiento se muestra a continuación:

El objetivo de este modelo es optimizar la ecuación del costo total, para ello minimizamos los costos a través de la derivada de dicha ecuación y posteriormente igualándola a cero. Luego despejamos Q para obtener el Q* (Q óptimo):

MODELO EOQ CON FALTANTES

SUPUESTOS:

• Demanda conocida y constante
• Conserva los costos de adquisición,  los costos de ordenar y los costos de mantenimiento de inventario
• Se admiten faltantes, por lo cual aparecerá un nuevo costo (Cf), el cual representa aquellos en que se incurren cuando no hay material suficiente para suplir la demanda.

El comportamiento de este modelo es el siguiente:

 

Donde t1 representa el tiempo en que se agota el inventario y t2 es el tiempo donde hay faltante de inventario

La expresión para el costo total de este modelo es:

Del gráfico anterior podemos deducir las siguientes fórmulas:

Reemplazando todas estas ecuaciones en la fórmula del costo total y multiplicándola después por N obtenemos finalmente el costo total anual:

 

 

Derivamos la anterior expresión en función de Q y S para obtener el Q* y S* que nos traiga el mayor beneficio y reduzca los costos

Despejamos (Q-S) Y Q  de (1) y la reemplazamos en (2)

Resolviendo dicha ecuación hallamos S* y reemplazamos en  (4) para obtener Q*

 

 

LEP SIN FALTANTE

SUPUESTOS:

• La demanda es constante y conocida.
• La tasa de producción R tiene que ser mayor que la demanda D.
  
                                                               R>D
• Aparece un nuevo costo llamado costo de ordenar una OP (orden de producción).

NOTA: En este modelo se fabrica mas no se compra.

El costo total para este modelo es:

C (Q)=CuQ+Cop+Cmi ((t1+ t2 )  Imax)/2   (1)

El modelo LEP sin faltante presenta el siguiente comportamiento:

Donde t1 es el tiempo de fabricación y t2  es el instante en el que Inventario máximo se agota.

Teniendo en cuenta el anterior gráfico obtenemos las siguientes ecuaciones:

Q=Rt1

              t=t1+ t2       (2)

Imax= t1 (R-D)

Imax= Q/R (R-D)

          Imax= Q(1-D/R)     (3)

 Reemplazando las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 1 del costo total, tenemos:

C (Q)=CuQ+Cop+Cmi(t)  (Q (1-D/R))/2

Donde t = Q/D, entonces tenemos:

C (Q)=CuQ+Cop+Cmi(Q/D)  (Q (1-D/R))/2

         C (Q)=CuQ+Cop+Cmi(Q^2/D)  ((1-D/R))/2      (4)

El costo total anual se obtiene mediante la multiplicación de la ecuación (4) del costo total por el número de periodos (N).

donde N=D/Q, finalmente tenemos:

     CTA (Q)=CuD+Cop[D/Q]+Cmi Q(1-D/R)/2      (5)

Se deriva la anterior ecuacion (5) en función de Q y la igualamos a cero.

(δCTA (Q))/δQ=0

(δCTA (Q))/δQ= -Cop  D/Q^(2 )   +  1/2 Cmi(1-D/R)=0

Despejando Q  y obtenemos el Q* optimo que nos interesa:

Q*= √(2Cop/(1-D/R)Cmi)

LEP CON FALTANTE

De manera similar como se expuso en el modelo LEP sin faltante, el modelo LEP con faltante debe cumplir con los siguientes supuestos que lo caracterizan:

• La demanda es constante y conocida.
• En el modelo LEP a diferencia del EOQ, la empresa fabrica artículos en vez de comprarlos; por esta   razón aparece un nuevo costo llamado costo por orden de producción (OP).
• La tasa de producción R tiene que ser mayor que la demanda D, de lo contrario no existiría inventario en ningún momento.
  
                                                                                            R>D

NOTA: Se define la tasa de producción R como el número de unidades producidas en un periodo de tiempo, el cual generalmente es de un año.

• Se conservará el costo de mantener inventario.
• En este modelo existe una cantidad de artículos que no pueden ser entregados en la fecha estipulada, por lo cual se generará un nuevo costo llamado costo por faltante.
  
  La ecuación del costo total del modelo LEP con faltante es:
  
  

C(Q,S)= CuQ+Cop+ Cmi(t1+t2)Imax/2+ Cf(t3+t4)S/2             (1)

El modelo presenta el siguiente comportamiento:

A través del gráfico se deducen las siguientes ecuaciones:

(t1+t4)R=Q         (2)

Imax=(R-d)t1       (3)

Imax=dt2      (4)

S=dt3      (5)

S=(R-d)t4     (6)

Igualando (3) con (4) tenemos:

(R-d)t1=dt2

          t2=  (R-d)t1/d          (7)

Igualando  (5) con (6) obtenemos:

 

dt3=(R-d)t4

t3=  (R-d)t4/d       (8)

Reemplazando (3), (7)  y (8) en (1) obtenemos

C(Q,S)= CuQ+Cop+ Cmi(t1+(R-d)t1/d)(R-d)t1/2+ Cf((R-d)t4/d+t4)S/2       

Reorganizando la ecuación tenemos:

C(Q,S)= CuQ+ Cop+ ((R-d)〖t1〗^2 Cmi(R))/2d+ t4Cf(R)S/2d      (9)

De la ecuación (2) se despeja t1 y se reemplaza en la ecuación (9) y tenemos:

t1=  Q/R-t4

C(Q,S)= CuQ+ Cop+ ((R-d)(〖Q/R-t4)〗^2 Cmi(R))/2d+ t4Cf(R)S/2d        (10)

De la ecuación (6) despejamos t4 y se reemplaza en la ecuación (10) y tenemos:

t4=  S/((R-d))

 

C(Q,S)= CuQ+ Cop+ ((R-d)(〖Q(R-d)-RS)〗^2 Cmi(R))/(2dR^2 〖(R-d)〗^2 )+ (Cf(R) S^2)/(2d(R-d))

 

C(Q,S)= CuQ+ Cop+ ((〖Q(R-d)-RS)〗^2 Cmi)/(2dR(R-d))+ (Cf(R) S^2)/(2d(R-d))         (11)

Multiplicando la ecuación (11) por N=D/Q, obtenemos:

NC(Q,S)= CuQ(D/Q)+ Cop(D/Q)+ ((〖Q(R-d)-RS)〗^2 Cmi)/(2dR(R-d))(D/Q)+ (Cf(R) S^2)/(2d(R-d))(D/Q)

Finalmente obtenemos la ecuación general del costo total:

NC(Q,S)= CuD+ CopD/Q+ ((〖Q(R-d)-RS)〗^2 CmiD)/(2dRQ(R-d))+ (Cf(R) S^2 D)/(2dQ(R-d))         (12)

Para hallar los valores de S* y Q* óptimo derivamos la ecuación (12)

En primera instancia lo haremos con respecto a S para despejar Q.

δCTA/δS= - (SDCmi(Q(R-d)-RS))/(dQ(R-d))+CfRSD/(dQ(R-d))

Reorganizando la ecuación e igualando a cero se obtiene:

-  Dcmi/d+ (SRD(Cmi+Cf))/(dQ(R-d))=0       (13)

Despejando Q tenemos:

Q= (SR(Cmi+Cf))/(cmi(R-d))       (14)

A continuación procedemos a derivar la ecuación (12) con respecto a Q y tenemos:

δCTA/δQ= -Cop[D/Q^2 ]+ (R-d)DCmi/2dR-(S^2 RDCmi)/(2dQ^2 (R-d) )-(RS^2 DCf)/(2dQ^2 (R-d))      (15)

Despejando S^2 de la ecuación (15) obtenemos:

S^2=(2 Cop d (R-d)Cmi)/(RCf (Cmi+Cf)) 

      

Y a partir de esta se obtiene el S* óptimos y queda así:

S*=√(2&(2 Cop d (R-d)Cmi)/(RCf (Cmi+Cf))        (16)

Por último reemplazamos (16) en la ecuación (14) y obtenemos finalmente el Q* óptimo:

Q*=√(2&(2Cop (Cmi+Cf)R)/(Cf Cmi (R-d)))

EOQ CON DESCUENTO POR CANTIDADES

La cantidad económica de pedido busca encontrar el monto de pedido que reduzca al mínimo el costo total del inventario de la empresa

Una de las herramientas que se utilizan para determinar el monto óptimo de pedido para un artículo de inventario es el modelo de la cantidad económica de pedido.

• El modelo de la cantidad económica de pedido se basa en tres supuestos fundamentales, el primero es que la empresa conoce cuál es la utilización anual de los artículos que se encuentran en el inventario, segundo que la frecuencia con la cual la empresa utiliza el inventario no varía con el tiempo y por último que los pedidos que se colocan para reemplazar las existencias de inventario se reciben en el momento exacto en que los inventarios se agotan.

Dentro de los costos que se deben tener en cuenta para la implementación de este modelo están:

• Costos de pedido: Son los que incluyen los costos fijos de oficina para colocar y recibir un pedido, o sea, el costo de preparación de una orden de compra, procesamiento y la verificación contra entrega. Estos se expresan en términos de gastos o costos por pedido.

• Costos de mantenimiento del inventario: Son los costos variables unitarios de mantener un artículo en el inventario por un periodo determinado. Entre los más comunes se encuentran los costos de almacenamiento, los costos de seguro, los costos de deterioro y obsolescencia y el costo de oportunidad. Estos son expresados en términos de costos por unidad por periodo.

• Costos totales: Es que se determina en la suma del pedido y de los costos de mantenimiento del inventario. Su objetivo es determinar el monto de pedido que los minimice.

Dentro de este modelo la variable crítica es el valor unitario, pues se convierte en un costo relevante a medida que cambia con respecto a las cantidades pedidas.

El costo total para este modelo es:

C(Q) =CuD+Cp[D/Q]+1/2 CmiQ

Donde, Cu es el costo unitario.
            Cp es el costo de pedir.
            Cmi es el costo de mantener inventario.


EJEMPLO:

 

Dorsey Distributors tiene una demanda anual de 1500 detectores de metal. El costo típico de un detector de dorsey es de 500. Los costos de mantenimiento de inventario se estiman en 20% del costo de la unidad, mientras que el costo por realizar un pedido es de $25.

Si Dorsey coloca pedidos por cantidades de 300 o más podría tener un descuento del 5% en el costo de los detectores. ¿ Debería aceptar el descuento por volumen?

D= 1500 detectores/ año
Cu= $500
Cp=$25
Cmi=20%Cu.

SIN DESCUENTO

Q* = √((2(25)(1500))/100)=27.3 UNIDADES

CTA=(500*1500)+25[1500/27.3]+1/2 (100*27.3)=$752738.62

CON DESCUENTO

PARA 300 UNIDADES O MAS

Q* = √((2(25)(1500))/95)=28.09 UNIDADES

Como cae fuera del rango se toma como cantidad optima 300

CTA=(475*1500)+25[1500/300]+1/2 (95*300)=$726875

POR LO CUAL SE DEBE ACEPTAR EL DESCUENTO POR VOLUMEN YA QUE OFRECE EL MENOR COSTO TOTAL.

NOTA: PARA CALCULAR LAS CANTIDADES OPTIMAS A PEDIR (Q*), SE UTILIZAN LAS ECUACIONES DEL MODELO EOQ SIN FALTANTE.

EOQ CON DEMANDA PROBABILISTICA

Debido a que la demanda y  los tiempos de entrega no siempre son predecibles, se hace necesario contar con un inventario de seguridad para evitar que haya unidades faltantes.

Es posible que la demanda varié durante el tiempo de entrega. Llamamos demanda durante el tiempo de entrega la cantidad de material que se demandara mientras se esté esperando que llegue un pedido de materiales y se restablezca el inventario. En este modelo la demanda durante el tiempo de entrega está distribuida normalmente.

 

 

Donde μ es la demanda promedio durante el tiempo de entrega y σ es la desviación estándar de la demanda durante el tiempo.

Hay que tener en cuenta dos conceptos claves : nivel de servicio y el riesgo por faltante. El nivel de servicio es la probabilidad de que no ocurra un faltante durante el tiempo de entrega.  Por otra parte, el riesgo de faltante es aquella probabilidad de que no todos los pedidos de los clientes puedan cubrirse directamente del inventario durante el  tiempo de entrega.

Punto de reorden (R)= μ + Stock de seguridad

Stock de Seguridad= Zα*σ

Una forma de determinar cuál es el nivel de inventario de seguridad adecuado consiste en establecer un nivel de servicio.

Para comprender todo lo dicho anteriormente, veamos este ejemplo:

 

EJEMPLO:

Una tienda de aparatos distribuye una cierta marca de TV que tiene las siguientes características:

Demanda anual: 2000 Unid.
Costo de pedir: $25
Costo de mantenimiento: 25% Costo unit.
Costo unitario: $400
Tiempo de entrega: 4 días
Desviación estándar diaria: 1.2 Unid.
Días de trabajo al año: 250 días

Determine la cantidad optima (Q*), y calcule el punto de reorden para un nivel de servicio del 95%; suponga que la demanda se distribuye normalmente.

Q* = √(2CpD/Cmi)

Q* = √(2(25)(2000)/0,25*400)

Q* = 32 Unid/año

D= 2000 unid/año (1año/250 días)

D= 8 Unid/día

r = X + Z (0.95) *σ 

X = D*L

X= (8 unid/dia)*(4 días)

X= 32 unid.

Z(0,95) = 1,645

σ=√(1,2^2)*4)

σ= 2,4 unid.

Por la tanto:

r = 36 unid.