MODELO EOQ SIN FALTANTES

SUPUESTOS

Dentro de los supuestos de este modelo encontramos:

·        Demanda constante y conocida

·         No se admiten faltantes

·         Se manejan los costos de mantener guardado el inventario y el costo de pedir. Estos se mantienen constantes.

·         La reposición es instantánea porque no hay tiempo de demora.

 

Donde Q  son las cantidades, d es la demanda y t₁ es el tiempo en que se terminan las cantidades por la demanda.

El costo total de este modelo es el siguiente: 

Siendo Cu, Cp y Cmi los costos de adquisición, de pedir y de mantener el  inventario respectivamente.

Para conocer el costo total en un período extenso, por ejemplo el costo total anual, debemos tener en cuenta dos cosas. La primera es que el tiempo representado en la gráfica por t₁ corresponde a las cantidades por la demanda; en segundo lugar habrá que tener presente el número de periodos  en que se demore agotar el inventario. Es decir,

 

Multiplicando la ecuación del costo total para este modelo por N y luego haciendo los respectivos reemplazos, obtendremos finalmente el costo total anual. El procedimiento se muestra a continuación:

El objetivo de este modelo es optimizar la ecuación del costo total, para ello minimizamos los costos a través de la derivada de dicha ecuación y posteriormente igualándola a cero. Luego despejamos Q para obtener el Q* (Q óptimo):

MODELO EOQ CON FALTANTES

SUPUESTOS:

• Demanda conocida y constante
• Conserva los costos de adquisición,  los costos de ordenar y los costos de mantenimiento de inventario
• Se admiten faltantes, por lo cual aparecerá un nuevo costo (Cf), el cual representa aquellos en que se incurren cuando no hay material suficiente para suplir la demanda.

El comportamiento de este modelo es el siguiente:

 

Donde t1 representa el tiempo en que se agota el inventario y t2 es el tiempo donde hay faltante de inventario

La expresión para el costo total de este modelo es:

Del gráfico anterior podemos deducir las siguientes fórmulas:

Reemplazando todas estas ecuaciones en la fórmula del costo total y multiplicándola después por N obtenemos finalmente el costo total anual:

 

 

Derivamos la anterior expresión en función de Q y S para obtener el Q* y S* que nos traiga el mayor beneficio y reduzca los costos

Despejamos (Q-S) Y Q  de (1) y la reemplazamos en (2)

Resolviendo dicha ecuación hallamos S* y reemplazamos en  (4) para obtener Q*

 

 

LEP SIN FALTANTE

SUPUESTOS:

• La demanda es constante y conocida.
• La tasa de producción R tiene que ser mayor que la demanda D.
  
                                                               R>D
• Aparece un nuevo costo llamado costo de ordenar una OP (orden de producción).

NOTA: En este modelo se fabrica mas no se compra.

El costo total para este modelo es:

C (Q)=CuQ+Cop+Cmi ((t1+ t2 )  Imax)/2   (1)

El modelo LEP sin faltante presenta el siguiente comportamiento:

Donde t1 es el tiempo de fabricación y t2  es el instante en el que Inventario máximo se agota.

Teniendo en cuenta el anterior gráfico obtenemos las siguientes ecuaciones:

Q=Rt1

              t=t1+ t2       (2)

Imax= t1 (R-D)

Imax= Q/R (R-D)

          Imax= Q(1-D/R)     (3)

 Reemplazando las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 1 del costo total, tenemos:

C (Q)=CuQ+Cop+Cmi(t)  (Q (1-D/R))/2

Donde t = Q/D, entonces tenemos:

C (Q)=CuQ+Cop+Cmi(Q/D)  (Q (1-D/R))/2

         C (Q)=CuQ+Cop+Cmi(Q^2/D)  ((1-D/R))/2      (4)

El costo total anual se obtiene mediante la multiplicación de la ecuación (4) del costo total por el número de periodos (N).

donde N=D/Q, finalmente tenemos:

     CTA (Q)=CuD+Cop[D/Q]+Cmi Q(1-D/R)/2      (5)

Se deriva la anterior ecuacion (5) en función de Q y la igualamos a cero.

(δCTA (Q))/δQ=0

(δCTA (Q))/δQ= -Cop  D/Q^(2 )   +  1/2 Cmi(1-D/R)=0

Despejando Q  y obtenemos el Q* optimo que nos interesa:

Q*= √(2Cop/(1-D/R)Cmi)

LEP CON FALTANTE

De manera similar como se expuso en el modelo LEP sin faltante, el modelo LEP con faltante debe cumplir con los siguientes supuestos que lo caracterizan:

• La demanda es constante y conocida.
• En el modelo LEP a diferencia del EOQ, la empresa fabrica artículos en vez de comprarlos; por esta   razón aparece un nuevo costo llamado costo por orden de producción (OP).
• La tasa de producción R tiene que ser mayor que la demanda D, de lo contrario no existiría inventario en ningún momento.
  
                                                                                            R>D

NOTA: Se define la tasa de producción R como el número de unidades producidas en un periodo de tiempo, el cual generalmente es de un año.

• Se conservará el costo de mantener inventario.
• En este modelo existe una cantidad de artículos que no pueden ser entregados en la fecha estipulada, por lo cual se generará un nuevo costo llamado costo por faltante.
  
  La ecuación del costo total del modelo LEP con faltante es:
  
  

C(Q,S)= CuQ+Cop+ Cmi(t1+t2)Imax/2+ Cf(t3+t4)S/2             (1)

El modelo presenta el siguiente comportamiento:

A través del gráfico se deducen las siguientes ecuaciones:

(t1+t4)R=Q         (2)

Imax=(R-d)t1       (3)

Imax=dt2      (4)

S=dt3      (5)

S=(R-d)t4     (6)

Igualando (3) con (4) tenemos:

(R-d)t1=dt2

          t2=  (R-d)t1/d          (7)

Igualando  (5) con (6) obtenemos:

 

dt3=(R-d)t4

t3=  (R-d)t4/d       (8)

Reemplazando (3), (7)  y (8) en (1) obtenemos

C(Q,S)= CuQ+Cop+ Cmi(t1+(R-d)t1/d)(R-d)t1/2+ Cf((R-d)t4/d+t4)S/2       

Reorganizando la ecuación tenemos:

C(Q,S)= CuQ+ Cop+ ((R-d)〖t1〗^2 Cmi(R))/2d+ t4Cf(R)S/2d      (9)

De la ecuación (2) se despeja t1 y se reemplaza en la ecuación (9) y tenemos:

t1=  Q/R-t4

C(Q,S)= CuQ+ Cop+ ((R-d)(〖Q/R-t4)〗^2 Cmi(R))/2d+ t4Cf(R)S/2d        (10)

De la ecuación (6) despejamos t4 y se reemplaza en la ecuación (10) y tenemos:

t4=  S/((R-d))

 

C(Q,S)= CuQ+ Cop+ ((R-d)(〖Q(R-d)-RS)〗^2 Cmi(R))/(2dR^2 〖(R-d)〗^2 )+ (Cf(R) S^2)/(2d(R-d))

 

C(Q,S)= CuQ+ Cop+ ((〖Q(R-d)-RS)〗^2 Cmi)/(2dR(R-d))+ (Cf(R) S^2)/(2d(R-d))         (11)

Multiplicando la ecuación (11) por N=D/Q, obtenemos:

NC(Q,S)= CuQ(D/Q)+ Cop(D/Q)+ ((〖Q(R-d)-RS)〗^2 Cmi)/(2dR(R-d))(D/Q)+ (Cf(R) S^2)/(2d(R-d))(D/Q)

Finalmente obtenemos la ecuación general del costo total:

NC(Q,S)= CuD+ CopD/Q+ ((〖Q(R-d)-RS)〗^2 CmiD)/(2dRQ(R-d))+ (Cf(R) S^2 D)/(2dQ(R-d))         (12)

Para hallar los valores de S* y Q* óptimo derivamos la ecuación (12)

En primera instancia lo haremos con respecto a S para despejar Q.

δCTA/δS= - (SDCmi(Q(R-d)-RS))/(dQ(R-d))+CfRSD/(dQ(R-d))

Reorganizando la ecuación e igualando a cero se obtiene:

-  Dcmi/d+ (SRD(Cmi+Cf))/(dQ(R-d))=0       (13)

Despejando Q tenemos:

Q= (SR(Cmi+Cf))/(cmi(R-d))       (14)

A continuación procedemos a derivar la ecuación (12) con respecto a Q y tenemos:

δCTA/δQ= -Cop[D/Q^2 ]+ (R-d)DCmi/2dR-(S^2 RDCmi)/(2dQ^2 (R-d) )-(RS^2 DCf)/(2dQ^2 (R-d))      (15)

Despejando S^2 de la ecuación (15) obtenemos:

S^2=(2 Cop d (R-d)Cmi)/(RCf (Cmi+Cf)) 

      

Y a partir de esta se obtiene el S* óptimos y queda así:

S*=√(2&(2 Cop d (R-d)Cmi)/(RCf (Cmi+Cf))        (16)

Por último reemplazamos (16) en la ecuación (14) y obtenemos finalmente el Q* óptimo:

Q*=√(2&(2Cop (Cmi+Cf)R)/(Cf Cmi (R-d)))

EOQ CON DESCUENTO POR CANTIDADES

La cantidad económica de pedido busca encontrar el monto de pedido que reduzca al mínimo el costo total del inventario de la empresa

Una de las herramientas que se utilizan para determinar el monto óptimo de pedido para un artículo de inventario es el modelo de la cantidad económica de pedido.

• El modelo de la cantidad económica de pedido se basa en tres supuestos fundamentales, el primero es que la empresa conoce cuál es la utilización anual de los artículos que se encuentran en el inventario, segundo que la frecuencia con la cual la empresa utiliza el inventario no varía con el tiempo y por último que los pedidos que se colocan para reemplazar las existencias de inventario se reciben en el momento exacto en que los inventarios se agotan.

Dentro de los costos que se deben tener en cuenta para la implementación de este modelo están:

• Costos de pedido: Son los que incluyen los costos fijos de oficina para colocar y recibir un pedido, o sea, el costo de preparación de una orden de compra, procesamiento y la verificación contra entrega. Estos se expresan en términos de gastos o costos por pedido.

• Costos de mantenimiento del inventario: Son los costos variables unitarios de mantener un artículo en el inventario por un periodo determinado. Entre los más comunes se encuentran los costos de almacenamiento, los costos de seguro, los costos de deterioro y obsolescencia y el costo de oportunidad. Estos son expresados en términos de costos por unidad por periodo.

• Costos totales: Es que se determina en la suma del pedido y de los costos de mantenimiento del inventario. Su objetivo es determinar el monto de pedido que los minimice.

Dentro de este modelo la variable crítica es el valor unitario, pues se convierte en un costo relevante a medida que cambia con respecto a las cantidades pedidas.

El costo total para este modelo es:

C(Q) =CuD+Cp[D/Q]+1/2 CmiQ

Donde, Cu es el costo unitario.
            Cp es el costo de pedir.
            Cmi es el costo de mantener inventario.


EJEMPLO:

 

Dorsey Distributors tiene una demanda anual de 1500 detectores de metal. El costo típico de un detector de dorsey es de 500. Los costos de mantenimiento de inventario se estiman en 20% del costo de la unidad, mientras que el costo por realizar un pedido es de $25.

Si Dorsey coloca pedidos por cantidades de 300 o más podría tener un descuento del 5% en el costo de los detectores. ¿ Debería aceptar el descuento por volumen?

D= 1500 detectores/ año
Cu= $500
Cp=$25
Cmi=20%Cu.

SIN DESCUENTO

Q* = √((2(25)(1500))/100)=27.3 UNIDADES

CTA=(500*1500)+25[1500/27.3]+1/2 (100*27.3)=$752738.62

CON DESCUENTO

PARA 300 UNIDADES O MAS

Q* = √((2(25)(1500))/95)=28.09 UNIDADES

Como cae fuera del rango se toma como cantidad optima 300

CTA=(475*1500)+25[1500/300]+1/2 (95*300)=$726875

POR LO CUAL SE DEBE ACEPTAR EL DESCUENTO POR VOLUMEN YA QUE OFRECE EL MENOR COSTO TOTAL.

NOTA: PARA CALCULAR LAS CANTIDADES OPTIMAS A PEDIR (Q*), SE UTILIZAN LAS ECUACIONES DEL MODELO EOQ SIN FALTANTE.

EOQ CON DEMANDA PROBABILISTICA

Debido a que la demanda y  los tiempos de entrega no siempre son predecibles, se hace necesario contar con un inventario de seguridad para evitar que haya unidades faltantes.

Es posible que la demanda varié durante el tiempo de entrega. Llamamos demanda durante el tiempo de entrega la cantidad de material que se demandara mientras se esté esperando que llegue un pedido de materiales y se restablezca el inventario. En este modelo la demanda durante el tiempo de entrega está distribuida normalmente.

 

 

Donde μ es la demanda promedio durante el tiempo de entrega y σ es la desviación estándar de la demanda durante el tiempo.

Hay que tener en cuenta dos conceptos claves : nivel de servicio y el riesgo por faltante. El nivel de servicio es la probabilidad de que no ocurra un faltante durante el tiempo de entrega.  Por otra parte, el riesgo de faltante es aquella probabilidad de que no todos los pedidos de los clientes puedan cubrirse directamente del inventario durante el  tiempo de entrega.

Punto de reorden (R)= μ + Stock de seguridad

Stock de Seguridad= Zα*σ

Una forma de determinar cuál es el nivel de inventario de seguridad adecuado consiste en establecer un nivel de servicio.

Para comprender todo lo dicho anteriormente, veamos este ejemplo:

 

EJEMPLO:

Una tienda de aparatos distribuye una cierta marca de TV que tiene las siguientes características:

Demanda anual: 2000 Unid.
Costo de pedir: $25
Costo de mantenimiento: 25% Costo unit.
Costo unitario: $400
Tiempo de entrega: 4 días
Desviación estándar diaria: 1.2 Unid.
Días de trabajo al año: 250 días

Determine la cantidad optima (Q*), y calcule el punto de reorden para un nivel de servicio del 95%; suponga que la demanda se distribuye normalmente.

Q* = √(2CpD/Cmi)

Q* = √(2(25)(2000)/0,25*400)

Q* = 32 Unid/año

D= 2000 unid/año (1año/250 días)

D= 8 Unid/día

r = X + Z (0.95) *σ 

X = D*L

X= (8 unid/dia)*(4 días)

X= 32 unid.

Z(0,95) = 1,645

σ=√(1,2^2)*4)

σ= 2,4 unid.

Por la tanto:

r = 36 unid.

TEORÍA DE JUEGOS

CREADORES DE LA TEORÍA DE JUEGOS

 

JHON VON NEUMANN

Nació en Hungría en 1903, vivo en Alemania hasta los 27 años.  Sus profesores desde la escuela primaria reconocieron su talento para las matemáticas.  Su padre, un rico banquero, contrato profesores universitarios para que le dieran clases particulares de matemáticas.  Cuando contaba con 19 años de edad ya había publicado su primer articulo y fue reconocido como matemático profesional.  Recibió un doctorado en filosofía en el área de las matemáticas en la Universidad de Berlín.

Von Neumann emigro a Estados Unidos en 1930, y llego a ser catedrático en la Universidad de Princeton. 3 años después, se le extendió una invitación para ingresar al nuevo instituto de estudios avanzados de Princeton, donde permaneció el resto de su vida.

Cuando estallo la segunda guerra mundial Von Neumann, un judío alemán, participó en diferentes proyectos científicos relacionados con la causa de la guerra, y principalmente con la creación de la bomba de hidrogeno en los Alamos.

Su teoría de juegos sorprendió a la comunidad científica porque proporcionaba un análisis estratégico de un tema que parecía escapar al análisis: los juegos de habilidad.  Además, la teoría de juegos influyo significativamente en la economía, donde fue aplicada a situaciones competitivas semejantes a los juegos.  De hecho, Von Neumann y Oskar Morgenstern, economista de Princeton, escribieron un libro sobre teoría de juegos y sus aplicaciones a la economía, titulado “teoría de juegos y comportamiento económica”.

Von Neumann escribió cerca de 150 artículos sobre matemáticas, física, y ciencias de la computación.  Murió en 1957.

 

OSKAR  MORGENSTERN

Nació en Gorlitz, Silesia, estudio en las universidades de Viena, Harvard y New York.  Fue Miembro de la Escuela Austriaca y avezado matemático, participo en los famosos “Coloquios de Viena” organizados por Karl Menger (hijo de Carl Menger) que colocaron en contacto científicos de diversas disciplinas, de cuya sinergia se sabe que surgieron multitud de nuevas ideas e incluso nuevos campos científicos.

Emigro a Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial ejerciendo la docencia en Princeton. Para 1944 publico conjuntamente con John von Neumann titulado “teoría de juegos y comportamiento económica”  en el cual explican dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos como el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar para cada jugador una estrategia óptima. Lo que es mejor para un jugador depende de lo que los otros jugadores piensan hacer, y esto a su vez depende de lo que ellos piensan del primer jugador hará.

En la segunda parte del libro se desarrolla el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, no es de sorprender que sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En particular, Von Neumann y Morgenstern abandonaron todo intento de especificar estrategias óptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propusieron a clasificar los modelos de formación de coaliciones que son consistentes con conductas racionales.

 

TEORÍA DE JUEGOS

La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y llevar a cabo procesos de decisión

Sus investigadores estudian:

1. Las estrategias a utilizar.
2. Comportamiento previsto y observado de individuos en juegos.

Los tipos de interacción aparentemente distintos, pueden en realidad, presentar estructura de incentivo similar, y por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.

 

CLASES DE JUEGOS

JUEGOS DE SUMA CERO

Suma cero describe una situación en la que la ganancia o pérdida de un participante se equilibra con exactitud con las pérdidas o ganancias de los otros participantes.

Se llama así; porque si se suma el total de las ganancias de los participantes y se resta las pérdidas totales el resultado es cero. el ajedrez, el póker  son ejemplos de juegos de suma cero.

PUNTO DE SILLA, JUEGO ESTRICTAMENTE DETERMINADO

Un punto de silla es un pago que está simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, rodear los mínimos renglón y meta en caja los máximas columna. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente rodeado y en caja.

Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos un punto de silla. Las siguientes condiciones se aplican a los juegos estrictamente determinado:

1. Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.

2. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

JUEGOS NO ESTRICTAMENTE DETERMINADOS

Esta clase de juegos tiene más de una alternativa de juego por la que los jugadores podrían ganar, por lo que no están obligados a siempre jugar con la misma estrategia, no presentan un punto silla por que el número menor de todos los máximos de las columnas no es igual al número mayor de los menores de los renglones, dando como resultado un juego no estrictamente determinado.

TIPOS DE ESTRATEGIAS

La estrategia de un jugador es un plan de acción completa para cualquier situación que pueda acceder, determina completamente la conducta del jugador. Son las distintas acciones que puede tomar un jugador, cada uno de los cuales lleva un valor numérico asociado a ella y conducente al valor del juego, dependiendo de las combinaciones de las estrategias.

ESTRATEGIAS PURAS

Proporciona una definición completa para la forma en que un jugador pueda jugar un juego. En particular, define para cada elección posible la opción que toma el jugador. El espacio de la estrategia de un jugador es el conjunto de estrategias puras disponibles al jugador.

ESTRATEGIAS ALEATORIZADAS

Es aquella en donde el jugador renglón elige un renglón al azar, de acuerdo con cierta distribución de probabilidad. Por ejemplo, el jugador renglón podría la siguiente distribución de probabilidad:

RESULTADO	PROBABILIDAD
Renglón1	2/3
Renglón 2	1/3

Si el jugador renglón utiliza esta distribución de forma predecible, como cuando selecciona repetidamente el renglón 1 dos veces y luego el renglón 2 una vez, el jugador columna podría descubrir la estrategia de responder con el fin de reducir al mínimo su eficacia. Por lo tanto, el jugador renglón debe emplear algún dispositivo aleatorio, como la rueda giratoria que se mostro anteriormente (ruleta de pueblo), con el cual elegiría 1  dos terceras partes del tiempo.

ESTRATEGIA DOMINANTE

Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego.

	Izquierda	Derecha
Arriba	(50,100)	(0,50)
Abajo	(100,50)	(50,0)

 

EJEMPLO RESUELTO:

El modelo de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de la teoría de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana. Hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias a las que llamaremos "Fútbol" y "Discoteca".

Supongamos que el orden de preferencias de ÉL es el siguiente:

1. (Lo más preferido) EL y ELLA eligen Fútbol.

2. EL y ELLA eligen Discoteca.

3. EL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.

4. (Lo menos preferido) El elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.

Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:

1. (Lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Discoteca.

2. EL y ELLA eligen Fútbol.

3. EL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.

4. (Lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.

La matriz de pagos es la siguiente, donde los pagos representan el orden de preferencias:

Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin repetición y sin transferencia de utilidad. Sin repetición significa que sólo se juega una vez por lo que no es posible tomar decisiones en función de la elección que haya hecho el otro jugador en juegos anteriores.

Sin transferencia de utilidad significa que no hay comunicación previa por lo que no es posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar pagos secundarios ("Si vienes al fútbol te pago la entrada").

El problema que se plantea es simplemente un problema de coordinación. Se trata de coincidir en la elección. Al no haber comunicación previa, es posible que el resultado no sea óptimo. Si cada uno de los jugadores elige su estrategia maximín el pago que recibirán (3\3) es subóptimo. Esa solución, no es un punto de equilibrio de Nash ya que


BIBLIOGRAFÍA
http://www.gestiopolis.com/recursos4/docs/rrhh/teorijuegos.htm
http://www.econlink.com.ar/definicion/teoriadejuegos.shtml
Apuntes de la clase Investigación de operaciones II; profesor: Gonzalez Medardo